MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [1.247]

EQUAÇÃO GRAITACIONAL -ELETROFRACA e forte QUÂNTICA DE GRACELI.

[ $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$ ] [ $S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi \right]$ ] [[ ${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }={\bar {\psi }}_{i}\left(i(\gamma ^{\mu }D_{\mu })_{ij}-m\,\delta _{ij}\right)\psi _{j}-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$ ] [ ${\mathcal {L}}_{\text{EW}}={\mathcal {L}}_{g}+{\mathcal {L}}_{f}+{\mathcal {L}}_{h}+{\mathcal {L}}_{y}~.$ ] [ / $G$ ** $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

O Lagrangiano para as interações eletrofracas é dividido em quatro partes antes que a quebra de simetria eletrofraca se manifeste,

{\mathcal {L}}_{\text{EW}}={\mathcal {L}}_{g}+{\mathcal {L}}_{f}+{\mathcal {L}}_{h}+{\mathcal {L}}_{y}~.

O termo ${\mathcal {L}}_{g}$ descreve a interação entre os três bósons vetoriais W e o bóson vetorial B,

Equação da ação

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O lagrangiano EDQ para um campo de spin-1/2 interagindo com o campo eletromagnético em unidades naturais dá origem à ação:[32]

Ação na EDQ

$S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi \right]$

Lagrangiana

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A dinâmica dos quarks e glúons é controlada pela lagrangiana da cromodinâmica quântica. A lagrangiana invariante de gauge da QCD é

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }={\bar {\psi }}_{i}\left(i(\gamma ^{\mu }D_{\mu })_{ij}-m\,\delta _{ij}\right)\psi _{j}-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$

onde $\psi _{i}(x)\,$ são os campos dos quarkos, uma função dinâmica do espaço tempo, na representação fundamental dogrupo de gauge SU(3), indexada por $i,\,j,\,\ldots$ ; ${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}(x)\,$ são os campos de glúons, também funções dinâmicas do espaço-tempo, na representação adjunta do grupo de gauge SU(3), indexado por a, b,... ; γμ são as matrizes de Dirac conectando a representação spinorial a representação vetorial do grupo de Lorentz.

O símbolo $G_{\mu \nu }^{a}\,$ representa o tensor de força do campo de glúon invariante de gauge, análogo ao tensor de força do campo eletromagnético, F^{\mu \nu} \,, em eletrodinâmica quântica. É dado por:[8]

onde fabc são as constantes de estrutura de SU(3). Note que as regras para mover os índices a, b, or c de cima para baixo são triviais (assinatura (+, ..., +)) de forma que fabc = fabc = fabc ao passo que para os índices μ or ν devem ser seguidas as regras não triviais, correspondendo a assinatura métrica (+ − − −), por exemplo.

As constantes m e g controlam a massa dos quarks e as constantes de acoplamento da teoria, sujeitas a renormalização da teoria quântica completa.

Uma noção teórica importante envolvendo o termo final da lagrangiana acima é a variável do loop de Wilson. Esse loop tem papel importante nas formas discretizadas da QCD (veja QCD na rede), e de forma mais geral, distingue entre estados confinados e livres da teoria de gauge. Foi introduzido pelo físico laureado com Nobel Kenneth G. Wilson.

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $G$ * $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $/$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ +

$+$ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE INTERAÇÕES DE CAMPOS. EM ;

MECÂNICA GRACELI REPRESENTADA POR TRANSFORMADA.

dd = dd [G] = DERIVADA DE DIMENSÕES DE GRACELI.

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$

G { f [dd]} ´[d] $\psi ^{*}$ $\hbar$ $\psi$ $f [d] G*$ $T_{\mu \nu }$ $\psi$ $dd [G]$

O ESTADO QUÂNTICO DE GRACELI

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$ $\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ ]

$G* = DIMENSÕES DE GRACELI TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO COM INTERAÇÕES DE ENERGIAS, QUÂNTICAS, RELATIVÍSTICAS, , E INTERAÇÕES DE CAMPOS.$

o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético,

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Em 1927, Max Born e Robert Oppenheimer propuseram uma forma de simplificar o problema de sistemas poliatômicos.^[1] A aproximação de Born-Oppenheimer (ABO) consiste na percepção de que, como os núcleos são muito mais pesados que os elétrons, eles se movem de forma muito lenta em relação aos elétrons. Desta forma, o núcleo experimenta os elétrons como se estes fossem uma nuvem de carga, enquanto os elétrons sentem os núcleos como se estes estivessem estáticos. Desta forma, os elétrons adaptam-se quase instantaneamente a qualquer posição dos núcleos.

Sem este desacoplamento, resulta praticamente impossível o trabalho em Química quântica, física molecular ou física do estado sólido, devido a dificuldade de se encontrar soluções para os problemas que envolvem mais de dois corpos. A consideração explícita do acoplamento dos movimentos eletrônico e nuclear (geralmente, através de outro tipo de simplificações), conhece-se como acoplamento elétron-fônon em sistemas periódicos ou acoplamento vibrônico em sistemas moleculares.

Deve-se destacar que a ABO está umbilicalmente ligada à forma com que a teoria e o raciocínio químicos são desenvolvidos. Sem ela não é possível preservar conceitos básicos como o de estrutura molecular e estrutura química dentro de uma descrição quântica. A estrutura molecular está associada a um mínimo na superfície de energia potencial (SEP) de uma molécula. Já o conceito de estrutura química, que pode ser pensando como o melhor arranjo dos elétrons da camada de valência dos átomos para formar a molécula, porém, só pode ser estendido ao ponto de vista quântico se estados de um elétron puderem ser determinados, ou seja, só pode ser feito por meio do uso de um modelo de partículas independentes (MPI), o que no jargão químico ocorre com o uso do termo orbital, o que se trata de uma idealização para sistemas com mais de um elétron. Uma vez que muito do desenvolvimento do raciocínio químico depende desses conceitos, é natural adotar abordagem teóricas que os preservem.^[2]

Descrição

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O hamiltoniano de uma molécula ou sistema poliatômico genérico é dado por:

$H=-\sum _{A=1}^{M}{{\frac {1}{2M_{A}}}\nabla _{A}^{2}}+(-\sum _{i=1}^{N}{{\frac {1}{2}}\nabla _{i}^{2}}-\sum _{i=1}^{N}\sum _{A}^{M}{\frac {Z_{A}}{r_{iA}}}+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j>i}^{N}{\frac {1}{r_{ij}}})+\sum _{A=1}^{M}\sum _{B>A}^{M}{\frac {Z_{A}Z_{B}}{R_{AB}}}=T_{N}+H_{el}+V_{NN}$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Esse é o operador Hamiltoniano que contém toda a química. $T_{N}$ é operador energia cinética dos núcleos, $H_{el}$ é Hamiltoniano do problema eletrônico e $V_{NN}$ é operador de energia potencial de repulsão núcleo-núcleo.

Se a função de onda total é separada em uma contribuição eletrônica e outra nuclear:

$\psi _{total}(\mathbf {r} ,\mathbf {R} )=\psi _{el}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\chi _{Nuc}(\mathbf {R} )$

onde r representa as coordenadas eletrônicas e R as coordenadas nucleares. $\psi _{\mathrm {el} }$ é a função de onda eletrônica e $\chi _{\mathrm {Nuc} }$ é a função de onda nuclear. Deve-se notar que $\psi _{\mathrm {el} }$ depende não só explicitamente da posição dos elétrons r, mas também implicitamente das posições dos núcleos R.

Para a equação de Schrödinger independente do tempo:

$H\psi _{total}=E_{total}\psi _{total}$

$T_{N}\psi _{el}\chi _{Nuc}+H_{el}\psi _{el}\chi _{Nuc}+V_{NN}\psi _{el}\chi _{Nuc}=E_{total}\psi _{el}\chi _{Nuc}$

O problema total será resolvido, primeiro, a partir da resolução do problema eletrônico depois da aproximação do problema nuclear. O problema eletrônico é:

$H_{el}(r;R)\psi _{el}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )=E_{el}\psi _{el}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )$

com a energia eletrônica dependendo parametricamente das posições nucleares. Assim, o problema total pode ser reescrito como:

$T_{N}\psi _{el}\chi _{Nuc}+(E_{el}+V_{NN})\psi _{el}\chi _{Nuc}=E_{total}\psi _{el}\chi _{Nuc}$

$G$

$-\sum _{A=1}^{M}{{\frac {1}{2M_{A}}}\nabla _{A}^{2}}\psi _{el}\chi _{Nuc}+U(\mathbf {R} )\psi _{el}\chi _{Nuc}=E_{total}\psi _{el}\chi _{Nuc}$

$G$

O operador laplaciano na equação acima atua nas coordenadas nucleares, trabalhando apenas nele:

${\nabla ^{2}}\psi _{el}\chi _{Nuc}=\nabla (\psi _{el}\nabla \chi _{Nuc}+\nabla \psi _{el}\chi _{Nuc})=\psi _{el}{\nabla ^{2}}\chi _{Nuc}+\chi _{Nuc}{\nabla ^{2}}\psi _{el}+2\nabla \psi _{el}\chi _{Nuc}\thickapprox \psi _{el}{\nabla ^{2}}\chi _{Nuc}$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A equação acima foi obtida com a consideração que as variações na função de onda eletrônica são muito pequenas com a variação da posição nuclear, essa aproximação é chamada de aproximação adiabática, e é comumente confundida ou intercambiada com a ABO. Substituindo esse resultado no problema original, obtemos que:

$[\sum _{A=1}^{M}{{\frac {1}{2M_{A}}}\nabla _{A}^{2}}+U(\mathbf {R} )]\chi _{Nuc}=E_{total}\chi _{Nuc}$

$G$

A função $U(\mathbf {R} )$ que aparece na expressão acima parece com um potencial, mas não é um de fato pois inclui as contribuições cinéticas dos elétrons. Contudo, a forma da equação sugere a interpretação de um potencial efetivo no qual os núcleos se movem e recebe o nome de superfície de energia potencial (SEP).^[3] A solução da equação acima para função de onda nuclear leva aos níveis de energia para as vibrações e rotações moleculares, que são fundamentais em estudos espectroscópicos com a espectroscopia de infravermelho (IV), Raman e espectroscopia de micro-ondas.^[4]

Química quântica é a teoria avançada igualada a química teórica, no qual aplicam-se ferramentas da mecânica quântica e teoria quântica de campos para abordar problemas em química. Visa descrever, explicar e prever o comportamento de sistemas físico-químicos microscópicos, com base no comportamento eletrônico de átomos, moléculas íons e redes cristalinas, como as relacionadas com sua reatividade. Este campo científico situa-se na fronteira entre a química e a física, e significativas contribuições tem sido feitas por cientistas de ambos os campos. Ela tem uma forte e ativa sobreposição com os campos da física atômica e física molecular, assim como com a físico-química.

Limitações

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A química quântica descreve o comportamento fundamental da matéria na escala molecular.^[1] Ou seja, a princípio, permite descrever todos os sistemas químicos usando-se esta teoria. Na prática, somente os mais simples sistemas químicos podem realisticamente ser investigados em termos mecânico quânticos, dada a imensa elaboração necessária do formalismo matemático para se analisar sistemas mais complexos, e aproximações devem ser feitas para propósitos mais prático (e.g., métodos Hartree-Fock, pós Hartree-Fock ou teoria do funcional da densidade, ver química computacional para mais detalhes).

Não obstante, com o excepcional progresso das técnicas computacionais, se pode tomar para estudo sistemas cada vez mais complicados, graças a uma fartura de métodos computacionais.No aspecto puramente computacional, um exemplo disso é o Método de Monte Carlo para cálculo das integrais resultantes dos modelos teóricos. Outro tópico importante é a técnica das perturbações, onde o sistema a ser analisado é aproximado por outro mais simples, do qual o primeiro é considerado uma perturbação.

Dado que uma compreensão detalhada de mecânica quântica não é necessária para a maior parte da química, como as implicações importantes da teoria (principalmente a aproximação orbital) pode ser entendida e aplicada em termos mais simples.

Fundamentos

Em mecânica quântica o Hamiltoniano, ou o estado físico, de uma partícula pode ser expresso como a soma de dois operadores, um correspondendo a energia cinética e outro a energia potencial. O Hamiltoniano na equação de onda de Schrödinger usada na química quântica não contém termos para o spin do elétron.

Soluções da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio resulta a forma da função de onda para orbitais atômicos, e a energia relativa dos vários orbitais. A aproximação orbital pode ser usada para entender-se os outros átomos e.g. hélio, lítio e carbono.

Postulados da Mecânica Quântica

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Existem cinco postulados referentes a Mecânica Quântica, os quais servem de base para a resolução de problemas em Química Quântica. A Mecânica Quântica estuda a matéria a partir da dualidade onda-partícula, e entende que uma partícula se distribui no espaço como onda, ao invés de se deslocar no espaço com trajetória definida. Nela o caráter determinístico da trajetória é substituído por um caráter probabilístico da função de onda. ^[2]

1 - A função de onda e suas informações:

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O estado de um sistema é descrito por uma função Ψ das coordenadas espaciais e do tempo. Em outras palavras, este postulado vai nos dizer que todas as informações do sistema, poderão ser determinadas na função de onda. Esta função deve ser uniforme, contínua e de derivadas contínuas (como mostra a imagem a seguir) sendo assim será possível elevar a função ao quadrado e a integrar, nos dando um valor real.

2 - Os Operadores

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Um operador indica as operações matemáticas que devem ser realizadas sobre uma função. Para qualquer observável físico vai existir um operador, linear e Hermitiano. Os operadores Hermitianos possuem dois teoremas, os quais afirmam que os autovalores de um operador são reais e as autofunções de um operador são ortogonais. Encontramos estes operadores escrevendo a expressão clássica para o observável em termos das coordenadas de posição e componentes do momento linear, passando para os seguintes temos:

/ $G$ * $\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

3 - Os valores dos Observáveis Físicos

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Os valores que se obtém ao medir uma propriedade de um sistema, são autovalores do operador. Seja A uma matriz quadrada n x n. Um autovalor de A é um vetor, não nulo, v, tal que: Av = λv para algum escalar λ. O escalar de λ é chamado de autovalor, isto é, quando existe uma solução não trivial v de Av = λv. Já o vetor v é chamado de autovetor associado ao autovalor λ.

4- Valor Médio

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Partindo do ponto que a função da onda (Ψ), esteja normalizada o valor médio de um observável físico no tempo, será a Integral da função conjugada, o operador e a função da onda:

/ $G$ * $\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

5 - Evolução Temporal

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Para representar um sistema, em mecânica quântica, e sua evolução no tempo é utilizada a equação de Schrödinger dependente do tempo:

{\displaystyle G} — Equação de Schrödinger dependente do tempo

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